Javier M. Hernández

Tópicos de Teoría de Grupos

(Otoño 2010, Lic. Física, FCFM)

OBJETIVOS GENERALES DEL CURSO:

Este curso tiene como objetivos: generar los conocimientos y habilidades necesarias para entender, manejar y aplicar los conceptos de la teoría de grupos. En particular su aplicación a la relatividad especial y la mecánica cuántica. La primera parte introduce la motivación a la necesidad del formalismo de grupos en la física, tanto clásica como cuántica. Posteriormente nos dedicaremos a la teoría de grupos de Lie no Abelianos, sus álgebras y representaciones.

CONTENIDO Y ESQUEMA DEL CURSO:

  1. Simetrías y principios de Invariancia
    • Principios de simetría en la Mecánica clásica
    • Principios de simetría en la Mecánica cuántica
  2. Introducción a la teoría de grupos
    • Conceptos fundamentales (grupos, morfismos de grupos, subgrupos, coconjuntos y subgrupos invariantes, grupo cociente, representaciones de un grupo, reducibilidad de representaciones, Lema de Schur) en grupos finitos
    • Grupos de Lie (representaciones y álgebras)
  3. El grupo SU(2)
    • Representaciones del grupo de rotaciones
    • El operador de momento angular
    • Métodos tensoriales para grupos
    • Aplicaciones a la física de partículas
  4. Transformaciones de norma
    • Invariancia de norma en la Electrodinámica clásica
    • Invariancia de norma en la Electrodinámica cuántica
    • Invariancia de norma en teorías de Yang-Mills
  5. El grupo de Poincaré
    • Las transformaciones de Lorentz
    • Representaciones del grupo de Poincaré
    • Operadores de Casimir del grupo de Poincaré
Mas detalles se encuentran en el programa de la materia.

Observaciones

Noten que la resolución de problemas y los proyectos representa una parte esencial del curso. Los ejercicios serán, en algunos casos, largos o díficiles. El entendimiento viene junto con un manejo competente en la resolución de los problemas. Todos ellos deberán ser resueltos ... o al menos ser intentados. Usen las horas fuera de clase para verme cuando tengan algún problema en específico.

Los invito a que se reunan en grupos para estudiar, discutir, arguir y dominar los ejercicios. Sin embargo ESPERO que cada UNO escriba sus soluciones por separado, mostrando su entendimiento propio mediante la explicación detallada de los métodos de resolución de cada problema.

Muchos estudiantes ven la física enteramente a través del prisma de la resolución de problemas. Desde esa perspectiva, un curso de física es esencialmente un conjunto de prescripciones necesarias para resolver cierta clase de problemas. Esta visión es desafortunada -- la esencia de la física es que la Naturaleza puede ser comprendida a través de un comparativamente pequeño número de reglas que se pueden formular matemáticamente. Algunas de las leyes son empíricas en naturaleza: simplemente codifican los resultados de numerosos experimentos. Otras de esas reglas son derivadas -- se pueden obtener usando razonamiento físico y matemático a partir de las leyes empíricas. Similarmente las leyes físicas típicamente tienen dominios limitados de validez y es esencial comprender cuales son.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

BIBLIOGRAFÍA

Tareas

LECTURAS

The principle of science, the definition almost, is the following: The test of all knowledge is experiment. Experiment is the sole judge of scientific truth. But what is the source of knowledge? Where do the laws that are to be tested come from? Experiment, itself, helps to produce these laws, in the sense that it gives us hints. But also needed is imagination to create from these hints the great generalizations to guess at the wonderful, simple, but very strange patterns beneath them all. and then to experiment to check again whether we made the right guess.

Richard Feynman

Última revisión: 28/09/2010, javierh en {fcfm.buap.mx} , Puebla, Pue. México